PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

Por experiencia sabemos que los cuerpos pesan menos cuando están sumergidos en un líquido, esto se debe a que el fluido (con los gases también ocurre) ejerce sobre el cuerpo una fuerza hacia arriba que llamamos empuje, esta fuerza hacia arriba puedes comprobarla con el siguiente dibujo

Sobre la cara inferior actúa más presión que en la superior, por estar a mayor profundidad y, por tanto, la fuerza F₂ es mayor que la F₁, las dos fuerzas laterales serán iguales y se anulan una con la otra, así pues sobre el cuerpo sumergido actúa una fuerza hidrostática resultante hacia arriba, el empuje (E).

Arquímedes (s. III a.C.) fue el primero en darse cuenta de este empuje y además calculó a cuánto equivalía éste, el principio de Arquímedes dice que cuando un cuerpo se encuentra sumergido en un fluido experimenta una fuerza hacia arriba, llamada empuje, igual al peso del fluido que ha desalojado.

Calculemos el peso del fluido desalojado, éste será igual a la masa desalojada multiplicada por la aceleración de la gravedad y a su vez esta masa será igual al volumen de fluido desalojado (volumen del cuerpo que está sumergido) por la densidad de éste:

E = Peso_desalojado = m_des· g = d_fluido · V_sumergido · g

Esta expresión permite calcular el empuje que sufre un cuerpo sumergido en un fluido, la densidad del fluido (d_F) debe estar en unidades del S.I. (kg/m³), el volumen sumergido en m³ y el empuje como es una fuerza saldrá en Newtons.

Sobre un cuerpo sumergido tenemos actuando por tanto dos fuerzas, una es el empuje como acabamos de ver y la otra, lógicamente, es el peso del propio cuerpo. Si se introduce un cuerpo en el interior de un fluido puede ocurrir que el peso sea mayor que el empuje y entonces el cuerpo se irá al fondo (la resta de peso menos empuje se denomina "peso aparente"), o bien el empuje será mayor que el peso y entonces flotará y emergerá en parte hasta que el empuje disminuya hasta igualar el peso y se quede en equilibrio a flote.

       
Ejemplos
Una bola de acero de 5 cm de radio se sumerge en agua, calcula el empuje que sufre y la fuerza resultante. Datos: Densidad del acero 7,9 g/cm³
El empuje viene dado por E = d_agua · V_sumergido · g   la densidad del agua se da por conocida (1000 kg/m³), nos queda calcular el volumen sumergido, en este caso es el de la bola. Utilizando el volumen de una esfera:           V = 4/3 p R³ = 4/3 p 0,05³ = 5,236 · 10^-4 m³    por tanto el empuje quedará:
E = d_agua·V_sumergido·g  = 1000 · 5,236 · 10^-4 · 9,8 = 5,131 N
Sobre la bola actúa el empuje hacia arriba y su propio peso hacia abajo, la fuerza resultante será la resta de ambas. El empuje ya lo tenemos, calculamos ahora el peso P = m · g, nos hace falta previamente la masa de la bola, ésta se calcula con su densidad y el volumen (la densidad del acero debe estar en S.I.).
d_acero = 7,9 g/cm³ = 7900 kg/m³         m = d_acero · V = 7900 · 5,234 · 10^-4 = 4,135 kg
P = m · g = 4,135 · 9,8 = 40,52 N
Como vemos el peso es mucho mayor que el empuje, la fuerza resultante será P - E = 35,39 N hacia abajo y la bola se irá al fondo.
Un cubo de madera de 10 cm de arista se sumerge en agua, calcula la fuerza resultante sobre el bloque y el porcentaje que permanecerá emergido una vez esté a flote. Datos: densidad de la madera 700 kg/m³
Este ejercicio es muy similar al anterior, el cuerpo es ahora un cubo de volumen V = lado³ = 0,1³ = 0,001 m³ por tanto el empuje será:
E = d_agua·V_sumergido·g  = 1000 · 0,001 · 9,8 = 9,8 N
La masa del bloque será:
m = d_madera · V = 700 · 0,001 = 0,7 kg
y su peso:
P = m · g = 0,7 · 9,8 = 6,86 N
Vemos que el empuje es mayor que el peso, la fuerza resultante es de 2,94 N hacia arriba lo que hace que el cuerpo suba a flote.
Una vez a flote parte del cuerpo emergerá y no el volumen sumergido disminuirá, con lo cual también lo hace el empuje. El bloque quedará en equilibrio a flote cuando el empuje sea igual al peso y no actúe resultante sobre él, calculemos cuánto volumen permanece sumergido cuando esté a flote.
A flote  E = P            d_agua·V_sumergido·g = Peso      1000 · V_sumergido · 9,8 = 6,86
Despejando V_sumergido =  7 · 10^-4 m³ la diferencia de este volumen bajo el agua y el volumen total del bloque será la parte emergida   V_emergido = 0,001 - 7 · 10^-4 = 3 · 10^-4 m³ emergidos.
El porcentaje de bloque emergido será   3 · 10^-4 /0,001 · 100 = 30 %
Se desea calcular la densidad de una pieza metálica, para ello se pesa en el aire dando un peso de 19 N y a continuación se pesa sumergida en agua dando un peso aparente de 17 N. calcula la densidad del metal.
Si en el agua pesa 2 N menos que fuera es que el empuje vale 2 N, utilizando la fórmula del empuje podemos sacar el volumen sumergido, es decir, el volumen de la pieza.
E = d_agua·V_sumergido·g            2 = 1000 · V · 9,8            V = 2,041 · 10^-4 m³
Sabiendo el peso real de la pieza sacamos su masa   m = P/g = 19/9,8 = 1,939 kg.
Ya sabemos el volumen de la pieza y su masa, por tanto su densidad será:
d = m/V = 1,939/2,041 · 10^-4 = 9499 kg/m³
Ejercicios
1. Un objeto de 5 kg se mete en el agua y se hunde siendo su peso aparente en ella de 30 N, calcula el empuje, su volumen y su densidad.
2. Una pieza de 50 g y un volumen de 25 mL, pesa sumergida en un líquido 0,2 N, calcula la densidad del líquido.
3. Calcula el volumen que se encuentra sumergido en un barco de 10000 toneladas si la densidad del agua del mar es 1030 kg/m³

Soluciones:
1.  19 N; 1,939 · 10^-3 m³; 2579 kg/m³
2.  1183 kg/m³
3.  9709 m³